♪ Modális szintézis 2/2

1. A lánctól a folytonos tárgyig

Az 1/2 részben \(N\) tömegből \(N\) módus lett. Ha a láncot egyre sűrűbbre vesszük (\(N\to\infty\)), a tömegek folytonos tárgyba olvadnak: húr, rúd, membrán, lemez. A módusok száma végtelen, de a hang ugyanaz a három lista marad: \(\omega_n\), \(\sigma_n\), \(a_n\). A modális szintézis egyenlete nem változik:

\[y(t)=\sum_n\frac{a_n}{\omega_{d,n}}e^{-\sigma_nt}\sin(\omega_{d,n}t),\qquad a_n=\frac{u_n(p)\,u_n(q)}{m_n}.\]

Két dolog új. A módusalak már függvény (\(u_n(x)\), a hely folytonos változója), és a frekvenciák zárt képletből jönnek, nem mátrixból. A tárgy hangszínét leginkább a frekvenciák aránya adja: a húr felhangjai egész számú többszörösek (harmonikus), a rúdé és a membráné nem (inharmonikus, harangszerű).

2. A húr és a merev húr

Az ideális húr (hossz \(L\), feszítőerő \(T\), hosszegységre jutó tömeg \(\mu\)) módusai:

\[f_n=n f_1,\quad f_1=\frac1{2L}\sqrt{\frac T\mu},\quad u_n(x)=\sin\frac{n\pi x}{L},\quad m_n=\frac{\mu L}2.\]

Az erősség így \(a_n\propto\sin(n\pi p/L)\sin(n\pi q/L)\), ahol \(p\) az ütés (pengetés), \(q\) a hallgatás helye. Ha \(p=L/4\), minden 4. módus csomópontba esik, tehát a 4., 8., 12. felharmonikus hiányzik. A gitáron ezért szól más a híd mellett és a fogólap fölött.

A valódi húr merev is, ezért a felhangjai kissé magasabbra csúsznak [18][19]:

\[f_n=nf_1\sqrt{1+Bn^2},\qquad B=\frac{\pi^3Ed^4}{64\,T L^2}.\]

A \(B\) az inharmonicitás: vastag, rövid, laza húrnál nagy. Zongorában a mély húrok \(B\)-je miatt hangolják „nyújtva” a hangszert. Példa: \(B=4\cdot10^{-4}\), \(f_1=220\) Hz esetén a 10. felharmonikus \(2200\sqrt{1{,}04}=2243{,}6\) Hz, vagyis kb. 34 centtel magasabb a harmonikusnál.

3. Rudak

A rúd hajlító rezgésénél a frekvencia a hossz négyzetével csökken [13][15]:

\[f_n=\frac{(\beta_nL)^2}{2\pi L^2}\sqrt{\frac{EI}{\rho A}},\qquad I=\frac{bh^3}{12}.\]

Szabad–szabad rúdnál \(\beta_nL=4{,}730;\ 7{,}853;\ 10{,}996;\ 14{,}137\), majd \(n\ge3\)-ra jó közelítéssel \((n+\tfrac12)\pi\). Az arányok \((\beta_nL/4{,}730)^2\)-ből jönnek: 1 : 2,76 : 5,40 : 8,93. A hangszín gombja itt is a módusalak és az ütés helye: a rúd végén ütve minden módus egyformán megszólal, a közepén ütve a páros sorszámúak kiesnek.

4. Membrán és lemez

A kör membrán (sugár \(R\), feszítés \(T\) [N/m], felületi sűrűség \(\sigma_s\)) módusai két indexűek: \(m\) a csomóátmérők, \(n\) a csomókörök száma (a perem is csomó) [19][21]:

\[f_{mn}=\frac{j_{mn}}{2\pi R}\sqrt{\frac T{\sigma_s}},\qquad u_{mn}(r,\theta)=J_m\!\Big(j_{mn}\frac rR\Big)\cos m\theta.\]

A \(j_{mn}\) a \(J_m\) Bessel-függvény \(n\). zérushelye. Az arányok nem egészek:

A középpontban \(J_m(0)=0\) minden \(m>0\)-ra, így a dob közepét ütve csak a körszimmetrikus (\(m=0\)) módusok szólalnak meg, a hang mélyebb és tompább. A peremhez közel ütve minden módus gerjesztődik. A levegő terhelése a valódi dobban lejjebb tolja a frekvenciákat, ez a modell ezt nem tartalmazza.

Lemez (cintányér, harang): a hajlító hullámok sebessége a frekvenciával nő (diszperzió), \(\omega\propto k^2\), és \(\omega\propto\dfrac{h}{R^2}\sqrt{\dfrac{E}{\rho(1-\nu^2)}}\) [22]. Ebből adódik a méretezés: kétszeres vastagság kétszeres frekvenciát, felezett sugár négyszeres frekvenciát ad.

5. Frekvenciafüggő csillapítás

Az 1/2 rész 11. pontja a Rayleigh-modellt adta: \(\sigma_n=(\alpha+\beta\omega_n^2)/2\). Valódi tárgynál három veszteség van: a levegőbe sugárzás (főleg mély módusoknál), az anyag belső súrlódása (magasaknál) és a rögzítés. Egy gyakori mérnöki leírás a veszteségi tényező \(\eta\):

\[\sigma_n=\frac{\eta\,\omega_n}{2},\qquad T_{60,n}=\frac{\ln1000}{\sigma_n}=\frac{13{,}8}{\eta\,\omega_n}.\]

Honnan jön az \(\eta\)? Definíciója az egy periódus alatt elveszett energia hányada: \(\eta=\Delta E/(2\pi E)=1/Q\). Egy módus kitérése \(e^{-\sigma t}\), energiája \(e^{-2\sigma t}\), egy periódus \(2\pi/\omega_d\) ideig tart, ezért

\[\frac{\Delta E}{E}=1-e^{-4\pi\sigma/\omega_d}\approx\frac{4\pi\sigma}{\omega}\;\Rightarrow\;\eta\approx\frac{2\sigma}{\omega},\quad\sigma=\frac{\eta\omega}{2}\qquad(\sigma\ll\omega).\]

A \(T_{60}\) azt jelenti, hogy az amplitúdó 60 dB-t, azaz 1000-szeresére csökken: \(e^{-\sigma T_{60}}=10^{-3}\), tehát \(T_{60}=\ln 1000/\sigma\). Pontosabb alak: \(\eta=(1-e^{-4\pi\sigma/\omega_d})/(2\pi)\). Komplex rugalmassági modulussal (\(E(1+i\eta)\), „szerkezeti csillapítás”) a pólus \(s=i\omega_0\sqrt{1+i\eta}\), amiből

\[\sigma=\omega_0\sqrt{\tfrac{\sqrt{1+\eta^2}-1}{2}}\approx\tfrac{\eta\omega_0}{2},\qquad\omega_d=\omega_0\sqrt{\tfrac{\sqrt{1+\eta^2}+1}{2}}.\]

Az \(\eta\) értékét az anyagból nem lehet elméletileg kiszámolni (belső súrlódás, légsugárzás és rögzítés együtt adja), hanem mérik: (1) lecsengésből: exponenciális illesztéssel \(\sigma_n\), majd \(\eta_n=2\sigma_n/\omega_n\); (2) rezonanciacsúcs szélességéből: \(\eta\approx\Delta f_{-3\,\mathrm{dB}}/f_n\); (3) hiszterézishurokból: \(\eta=\) hurok területe \(/(2\pi\cdot\) tárolt energia). A Rayleigh-modellel összevetve \(\eta_n=\alpha/\omega_n+\beta\omega_n\): mély módusoknál a tömegarányos (levegő), magasaknál a merevségarányos (anyag) tag dominál.

Példa: \(\eta=10^{-3}\) (fémes tárgy), \(f=1000\) Hz: \(\sigma=3{,}14\) 1/s, \(T_{60}=2{,}2\) s. Nagyságrendileg tízszer nagyobb \(\eta\)-val (fa) 0,22 s. A fa ezért „tompa”, a fém „csengő”. A demóban egyszerűbb alakot használunk: \(\sigma_n=\sigma_1\,[1+b\,(r_n^2-1)]\), ahol \(r_n=f_n/f_1\); \(b=0\) azonos lecsengés minden módusnál, \(b=1\) tisztán \(\omega^2\)-es fékezés [20].

6. Az ütés: kalapács és kontaktidő

Az 1/2 részben az ütés ideális impulzus volt (minden módust egyformán gerjeszt). A valódi kalapács \(\tau\) ideig érintkezik, ezért az erőpulzus spektruma aluláteresztő: a módusok erősségét a \(g_n=1/\sqrt{1+(f_n/f_c)^2}\) szorzó csökkenti, ahol \(f_c\) nagyságrendileg \(1/\tau\). Puha filckalapácsnál hosszú a \(\tau\), kicsi az \(f_c\): csak a mély módusok szólnak. Kemény fa- vagy fémpálcánál rövid a \(\tau\), a magas módusok is megjelennek [3][12]. Az erősebb ütés gyengén rövidíti az érintkezést (Hertz-érintkezés, \(\tau\propto v^{-1/5}\)), ezért az erősebb hang világosabb is.

6.1 A kalapács anyaga, tömege, sebessége

A kalapács és a tárgy közti erőt gyakran hatványtörvénnyel írják: \(F=K\,\delta^{p}\), ahol \(\delta\) az összenyomódás, \(K\) a kontaktmerevség (az anyagtól és az alaktól függ), \(p\) a kitevő. Golyó–sík Hertz-érintkezésnél \(p=3/2\), filckalapácsnál mérések szerint 2,5–3,5 körüli [25][26][29]. Az energiából \(\tfrac12m_hv^2\approx K\delta_m^{p+1}/(p+1)\), vagyis \(\delta_m\propto(m_hv^2/K)^{1/(p+1)}\), és az érintkezési idő \(\tau\sim\delta_m/v\):

\[\tau\;\propto\;\Big(\frac{m_h}{K}\Big)^{\frac1{p+1}}\,v^{-\frac{p-1}{p+1}}.\]

Hertz-érintkezésnél (\(p=3/2\)) ez a fenti \(\tau\propto v^{-1/5}\), puha filcnél (\(p=3\)) már \(v^{-1/2}\): az erősebb ütés a filckalapácsnál sokkal jobban megrövidíti az érintkezést, ezért a hang erősebben világosodik (zongora: piano és forte közti különbség). Az erőpulzus alakját \(F(t)\approx F_m\sin^{\gamma}(\pi t/\tau)\)-val közelítjük, \(\gamma=2p/(p+1)\) (lineáris rugónál \(\gamma=1\), félszinusz). A pulzus spektruma aluláteresztő, ez adja a módusok súlyát: a kitérésben \(a_n\propto u_n(p)\,u_n(q)\,\hat F(f_n)/\omega_n\).

A \(\tau_0\) az 1× tömegű, 1× sebességű ütés érintkezési ideje. Ezek a demó kezdőértékei, nagyságrendi becslések, nem mért anyagadatok.

6.2 Felület: érdesség

A valódi érintkezés nem sima: a felületi egyenetlenségek miatt az erő a sima pulzus körül ingadozik. Egyszerű statisztikai modell: \(F(t)=F_{\mathrm{sima}}(t)\,[1+\rho\,\xi(t)]\), ahol \(\xi\) egységnyi szórású, aluláteresztő (kb. 6 kHz) zaj, \(\rho\) az érdesség, és \(F\ge0\). Az összimpulzus változatlan. A zaj a sima pulzus vágásán túl is ad szélessávú, „sercegő” összetevőt a támadásban. Ez nem mikrokontaktus-szimuláció, csak a hallható hatás első közelítése.

6.3 Pengetés

Pengetésnél nincs erőpulzus, a tárgy a statikus lehajlásból indul: \(x_n(0)=u_n(p)/\omega_n^2\), \(\dot x_n(0)=0\). Húrnál ez \(\sin(n\pi p)/n^2\), a háromszög alakú lehajlás Fourier-sora. A pengető vagy az ujjbegy szélessége aluláteresztőként hat: \(1/(1+(f_n/f_c)^2)\), \(f_c\approx0{,}5/\tau_0\). A \(p=1/k\) helyen pengetett húrból minden \(k\)-adik harmonikus kimarad.

6.4 Lenyomás: lefogás és tompítás

Két különböző dolgot hívunk lenyomásnak.

(a) Lefogás. Az ujj a húr egy részét kizárja, a hangzó rész hossza \(1-x_f\) lesz, ezért \(f_1\to f_1/(1-x_f)\), a módusalakok pedig az ujj és a híd közti szakaszon élnek. A \(k\) félhangnyi fogás helye \(x_f=1-2^{-k/12}\) (12. fogás: \(x_f=1/2\); tiszta kvintnél \(1/(1-x_f)=3/2\), \(x_f=1/3\)). A gerjesztés és a hallgatás helyét a demóban a teljes húrhoz mérjük, ha az ujj mögé esik, a legközelebbi hangzó pontra kerül.

(b) Tompítás. Ha az \(x_d\) pontban egy \(c\) csillapítású elem (ujjbegy, filc, tenyér) fékezi a tárgyat, az \(n\)-edik módus egyenletébe \(-c\,u_n(x_d)\sum_k u_k(x_d)\dot x_k\) kerül. Gyenge kapcsolásnál (a módusok nem keverednek) csak a diagonális tag számít:

\[\sigma_n=\sigma_{n0}+\kappa\,u_n(x_d)^2,\qquad\kappa=\frac{c}{2m}.\]

Ahol a módusnak csomópontja van (\(u_n(x_d)=0\)), a fékezés nem hat rá. Következmények:

• Flageolet. Húrnál \(x_d=L/k\): \(\sin(n\pi/k)=0\) pontosan akkor, ha \(k\mid n\), így csak az alaphang \(k\)-szorosának többszörösei élnek tovább. \(x_d=L/2\) az oktávot, \(L/3\) a tizenkettediket adja.
• Rúd. A szabad–szabad rúd alaphangjának csomópontjai a végektől 22,4%-ra vannak. Itt megfogva az alaphang nem csillapodik (ezért támasztják a xilofon- és vibrafonlapokat ott), a közepén megfogva viszont elhal [19].
• Membrán. A közepén csak a körszimmetrikus (\(m=0\)) módusoknak van kitérése, ezért a közép tompítása ezeket fékezi, a többit nem.
• Időzítés. Ha a tompító csak \(t_d\) idő múlva ér a tárgyhoz, a már megszólalt hang lecseng (zongorafelfogó, tenyértompítás).

6.5 Vonás: tapad–csúszik

A vonó a húrra \(F=-F_N\,\mu(v_{\mathrm{rel}})\,\mathrm{sgn}(v_{\mathrm{rel}})\) erőt gyakorol, ahol \(v_{\mathrm{rel}}=v_s-v_b\) a húr és a vonó relatív sebessége. Tapadáskor \(v_{\mathrm{rel}}=0\) és \(|F|\le\mu_sF_N\), csúszáskor \(\mu\) csökken a sebességgel. Hiperbolikus közelítéssel

\[\mu(v)=\mu_d+\frac{\mu_s-\mu_d}{1+|v|/v_0}.\]

A gyanta a \(\mu_s-\mu_d\) különbséget növeli. A modális modellben minden módus \(\ddot x_n+2\sigma_n\dot x_n+\omega_n^2x_n=u_n(p)F(t)\), a vonó pontján a sebesség \(v_s=\sum_nu_n(p)\dot x_n\). Mintánként a pontos (exponenciális) léptetésből \(v_s[k]=v_{\mathrm{szabad}}[k]+H\,F[k]\) adódik, ahol \(H=\sum_nu_n(p)^2b_n\) a pont mobilitása. Az \(F[k]\) egy skalár egyenlet megoldása: ha \(|v_b-v_{\mathrm{szabad}}|/H\le\mu_sF_N\), akkor tapad (\(F=(v_b-v_{\mathrm{szabad}})/H\)), különben csúszik, és a \(F=-\mathrm{sgn}(v_{\mathrm{rel}})F_N\mu(|v_{\mathrm{rel}}|)\) egyenletet felezéssel oldjuk meg [24][27].

A kialakuló Helmholtz-mozgásban egyetlen éles sarok fut körbe a húron [28]. A vonó pontján a sebesség négyszög-, a kitérés fűrészfogszerű, a spektrum \(\sim1/n\) szerint esik, és ott szól kevés, ahol \(n\beta\) egész (\(\beta\) a vonó távolsága a hídtól, a hossz törtrésze). A Helmholtz-mozgás csak egy erősávban alakul ki [23]: \(F_{\max}\propto v_b/(\beta\,(\mu_s-\mu_d))\), kisebb erőnél karcos, felületi hangot kapunk, nagyobbnál reccsenőt. A demóban ezt kimértük (a hang harmonikus energiahányada alapján): \(\varphi_{\max}\approx0{,}034\,v_b/\beta\) és \(\varphi_{\min}\approx0{,}05\,v_b\), kétszeres sebességnél mindkét határ kétszeres. A számok a modell normálásától függenek, a skálázás Schellengé.

6.6 A kalapács kiszámítása: csatolt kalapács–tárgy modell

Eddig a pulzus előírt volt. Valójában az erő a kalapács és a tárgy közös mozgásából adódik. A kalapács (tömeg \(m_h\), helye \(y_h\)) a \(p\) pontban ér a tárgyhoz, az összenyomódás \(\delta=y_h-y(p)\), a kitevő \(p_e\):

\[m_h\ddot y_h=-F,\quad F=K\max(0,\delta)^{p_e},\quad \ddot x_n+2\sigma_n\dot x_n+\omega_n^2x_n=u_n(p)F,\quad y(p)=\sum_nu_n(p)x_n.\]

Egy mintalépésben (\(\Delta t\)) a módusok pontos léptetése állandó erőnél \(y=y_{\mathrm{szabad}}+H_xF\), ahol \(H_x=\sum_nu_n(p)^2b_{x,n}\), \(b_{x,n}=(1-c_{11,n})/\omega_n^2\). A kalapácsra \(y_h'=y_h+v_h\Delta t-\Delta t^2F/m_h\). Ezért \(\delta'=\delta_0-SF\), \(S=\Delta t^2/m_h+H_x\), \(\delta_0=y_h+v_h\Delta t-y_{\mathrm{szabad}}\), és az erő egyetlen skaláregyenletből jön:

\[F=K\max(0,\delta_0-SF)^{p_e}.\]

A bal oldal nő, a jobb csökken \(F\)-ben, ezért a gyök egyértelmű, felezéssel megkapjuk (ugyanaz a trükk, mint a vonásnál). Ha \(\delta_0\le0\), az érintkezés megszűnt (\(F=0\)), a kalapács szabadon repül. Az elpattanás és a második érintés magától adódik; a demó a kalapácsot az utolsó érintkezés után 30 ms-mal eltávolítja.

A \(K\) kalibrálása. Merev falra ütve a kontaktidő \(\tau=2B\,\delta_m/v_0\), \(\delta_m=\big((p_e+1)m_hv_0^2/(2K)\big)^{1/(p_e+1)}\), \(B=\int_0^1(1-z^{p_e+1})^{-1/2}dz\). A demóban a \(\tau_0\) csúszka (1× tömeg, 1× sebesség) ebből adja a \(K\)-t. A tárgy a \(p\) pontban az \(n\). módusra \(M_{\mathrm{eff},n}=m_n/u_n(p)^2\) effektív tömeggel nehezedik: ha \(m_h\ll M_{\mathrm{eff}}\), a fal-közelítés jó. Ha a kalapács nehezebb, vagy a tárgy a \(p\) pontban könnyű, a számolt \(\tau\) hosszabb, mert a tárgy engedik. Az előírt pulzus ezt nem tudja, a csatolt modell igen. A demó a számolt \(\tau\)-t és az erőpulzus spektrumát az utolsó lejátszásból rajzolja.

6.7 Lefogás tetszőleges pontban: módusok újraszámolása

A (a) pontbeli \(f_1/(1-x_f)\) csak húrra jó, és eldobja az ujj mögötti szakaszt. Általános, minden tárgyra érvényes eljárás: merev, pontszerű lefogás a \(d\) helyen, vagyis a kényszer \(y(d)=\sum_nu_n(d)x_n=0\). Ha a pontot egy \(k\) merevségű rugó tartja, a módusegyenlet \((\omega_n^2-\lambda)x_n=-k\,u_n(d)\,y(d)\), ebből \(1+k\sum_nu_n(d)^2/(\omega_n^2-\lambda)=0\). \(k\to\infty\) határesetben az új \(\tilde\omega^2=\lambda\) frekvenciák a

\[\sum_n\frac{u_n(d)^2}{\omega_n^2-\tilde\omega^2}=0\]

gyökei. A bal oldal \(\tilde\omega^2\)-ben szigorúan nő, ezért két szomszédos (nem csomóponti) módus közt pontosan egy gyök van: \(\omega_j\le\tilde\omega_j\le\omega_{j+1}\) (Rayleigh: a kényszer csak emel, de nem lép át a következő módusra). Az új módusalak \(\tilde u_j=\sum_nc_{jn}u_n\), \(c_{jn}\propto u_n(d)/(\omega_n^2-\tilde\omega_j^2)\), egységnyi normával, és \(\tilde u_j(d)=0\) magától teljesül. Azok a módusok, amelyeknek \(d\)-ben csomójuk van, változatlanok. A csillapítás \(\tilde\sigma_j=\sum_nc_{jn}^2\sigma_n\), a gerjesztés \(\tilde a_j=\tilde u_j(p)\,\tilde u_j(q)\).

Ellenőrzés. Húr közepén lefogva a gyökök a \(2f_1,2f_1,4f_1,4f_1,\dots\) sort adják: két félhosszú húr, oktávval magasabban, kétszeres multiplicitással. \(d=L/3\)-nál a \(3f_1\) többszörösei maradnak, a többi felemelkedik. A szabad–szabad rúdnál a \(d=22{,}4\%\)-os csomóban az alaphang gyakorlatilag nem változik (ezért támasztják ott), a közepén a páros módusok maradnak, a páratlanok feljebb csúsznak. A húrnál a két szakasz mindegyike szól (a nyereg felőli rész is), az ujjnál nincs rögzített \(x_f\)-rövidítés. A rúdra és a membránra nincs zárt rövidítési képlet, csak ez az eljárás. Korlát: a demó legfeljebb 10 kHz-ig, rúdnál 8, membránnál 10 módust tart meg, ezért a felső gyökök pontatlanok.

6.8 A lefogás ereje

Az ujj nem végtelen merev: a lefogás merevségét a nyomóerő \(F_f\) szabja meg. Az ujjbegy (vagy a bund) és a tárgy érintkezése Hertz-féle, \(F=K_f\delta^{3/2}\), ezért a pont érintkezési merevsége \(k_s=\mathrm{d}F/\mathrm{d}\delta=\tfrac32K_f^{2/3}F_f^{1/3}\) [N/m]. Ez a 6.7 egyenletbe a \(\tfrac1k\) taggal lép be: \(\sum_nu_n(d)^2/(\omega_n^2-\tilde\omega^2)+1/\tilde k=0\), ahol \(\tilde k=k_s/m_n\) [1/s²] (a módusalakok \(u_n\) egységnyi csúcsúak, \(m_n\) a módustömeg). \(\tilde k\to\infty\) a merev lefogás. A módus akkor tekinthető rögzítettnek, ha \(\omega_n^2\ll\tilde k\,u_n(d)^2\); a határfrekvencia \(f_c\approx\tfrac1{2\pi}\sqrt{\tilde k}\). Gyenge nyomásnál ezért a magas módusok „átcsúsznak” az ujjon (tompa, érdes hang), erős nyomásnál élesen megszólal a lefogott hang. Az ujjbegy puha (\(K_f\approx3\cdot10^4\) N/m\(^{3/2}\)), a fém bund merev (acél–acél, \(K=\tfrac43E^*\sqrt R\approx3\cdot10^9\)), ezért bundos hangszernél \(f_c\) messze a hallható sáv fölött van. Az erő a \(\tfrac13\)-os hatványon szerepel: tízszeres erő csak 2,15-szörös merevség. A demóban a nyomóerő a „Lefogás ereje” csúszka (0,01–100 N), a \(K_f/m_n\) arányt a Demó fül kalkulátora adja át.

6.9 Az összes változó: honnan számoljuk

A Demó fül alján a kalkulátor ezeket a képleteket valódi anyagadatokból és méretekből számolja ki, és egy gombbal átadja a Játékmódoknak.

6.10 Teljes levezetés

A beállítások kipróbálhatók a Játékmódok fülön.

7. Honnan jönnek a számok?

Valós időben a költség módusonként kb. 4 szorzás mintánként. A halk (−60 dB alatti), gyorsan elhaló módusokat és a Nyquist fölöttieket érdemes kihagyni. Az eredmény mindig ugyanaz a három lista, bárhonnan is jött.

8. Összefoglaló recept és a modell határai

1. Válaszd ki az alakot, és vedd a \(\omega_n\), \(u_n(x)\) értékeit (képlet, FEM vagy mérés).
2. Add meg a csillapítást: \(\sigma_n\) módusonként (\(\eta\), Rayleigh vagy mérés).
3. Válaszd az ütés (\(p\)) és a hallgatás (\(q\)) helyét: \(a_n=u_n(p)u_n(q)/m_n\).
4. Alakítsd a gerjesztéssel: kalapácsnál \(a_n\cdot\hat F(f_n)\) (a pulzus spektruma), pengetésnél \(1/\omega_n^2\)-es kezdőlehajlás, vonásnál időtartománybeli súrlódás (6.5).
5. Ha lenyomsz: lefogásnál \(f_1\to f_1/(1-x_f)\), tompításnál \(\sigma_n\to\sigma_n+\kappa\,u_n(x_d)^2\) (6.4).
6. Futtasd a két pólusú rezgők bankját (1/2 rész, 7.3).